在平行四边形ABCD中，点o是对角线Ac的中点，过点o作垂线与边Bc，AD于点E，F。求证：四边形AECF是菱形

过点o作AC垂线与边Bc，AD于点E，F。

解：方法一：∵AF∥EC．
∴∠FAC=∠ECA．
又∵∠AOF=∠COE，AO=CO，
∴△AOF≌△COE．
∴EO=FO．
又EF⊥AC，
∴AC是EF的垂直平分线．
∴AF=AE，CF=CE，
又∵FA=FC，
∴AF=AE=CE=CF．
∴四边形AFCE为菱形．

方法二：同方法一，证得△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴FA=FC，
∴四边形AFCE是菱形．

方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．
又EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形

：∵AF∥EC． ∴∠FAC=∠ECA． 又∵∠AOF=∠COE，AO=CO， ∴△AOF≌△COE． ∴EO=FO． 又EF⊥AC， ∴AC是EF的垂直平分线． ∴AF=AE，CF=CE， 又∵FA=FC， ∴AF=AE=CE=CF． ∴四边形AFCE为菱形．

ad//bc , 角aef=角cfe ,

ef垂直ac , 角aoe=角cof

o为ac中点, ao=co

依直角三角形定理, 三角形aoe全等三角形foc

得,ae=fc

同理, 得ae=ec=af

ae=ec=fc=af, 四边相等的四边形(无直角)为菱形.....

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