数学旋转的一道题。急急急！！

已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF。

1.如果CA=CB，求证：AE^2+BF^2=EF^2

2.如果CA＜CB，1中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

延长FD至G使 DG=DF （倍长DF），连接AG， EG 易证△BFD≌△DGA ∴BF=AG ∠CBA=∠DAG ∵∠CAB+CBA=90° ∴∠CAB+ ∠DAG=90° 即∠EAG=90° 则 △EAG为直角三角形 ∴AE²+AG²=EG² 易证 △EDG≌△EDF ∴EF=EG ∴AE²+BF²=EF² 2. 结论的成立与CA，CB是否相等没有关系。

1)连CD

∵CA=CB,D是中点

∴∠A=∠B=45°,CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=∠ACB/2=45°(等腰三角形三线合一)

∵∠ACB=90°

∴CD=AB/2=AD=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

∵DE⊥DF

∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°

∴∠CDF=∠ADE(同角的余角相等)

∵∠CDF=∠ADE,CD=AD,∠DCF=∠A=45°

∴△CDF≌△ADE(ASA), CF=AE

同理 △CDE≌△BDF, CE=BF

∵CF²+CE²=EF²(勾股定理)

∴AE²+BF²=EF²

2)成立.

延长ED到P使DP=DE,连BP,FP

∵DP=DE,∠PDB=∠EDA,BD=AD

∴△PDB≌△EDA(SAS)

∴∠PBD=∠A,BP=AE

∴∠FBP=∠CBA+∠PBD=∠CBA+∠A=90°

∴BP²+BF²=FP²

∵DE⊥DF,DP=DE即DF垂直平分EP

∴EF=FP(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)

∴AE²+BF²=EF²

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