高中数学，射影的定义及用法

高中数学，射影的定义及用法

射影定理(right triangle altitude theorem)是指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项。直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
(1)(BD)²=AD·DC， (2)(AB)²=AD·AC ， (3)(BC)²=CD·CA。
等积式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明) (5)(AB)²/(BC)²=AD/CD
直角三角形射影定理的证明：(主要是从三角形的相似比推算来的)　
 一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
射影定理简图(几何画板)∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD²=AD·DC。其余同理可得可证
有射影定理如下：
AB²=AD·AC，BC²=CD·CA
两式相加得：
AB²+BC²=(AD·AC)+(CD·AC) =(AD+CD)·AC=AC² 。
用勾股证射影
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,
∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD²=BD×CD.
运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
追问...看不过来的追答。。。。用法我再给你改改最经常的应用是: 立体几何中求两个平面所成的二面角，通常要作出二面角的平面角，这比较麻烦．许多题目如改用面积射影定理来求解，则往往较简便．设平面图形的面积为5，它在另一个平面上的射影为S’=Scos α（＊）追问求线面角怎么用呢追答
追问我不知道的是求线面角，如何在那面里面找那条射影线。

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