定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-34，0)对称，且f(x)=-1f(x+32)

定义在R上的函数f（x）的图象关于点 (- 3 4 ，0) 对称，且 f(x)=- 1 f(x+ 3 2 ) ，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…f（2011）=______．

∵函数f（x）的图象关于点 (-
3
4 ，0) 对称，∴f（x）=-f（-x-
3
2 ）．
又 f(x)=-
1
f(x+
3
2 ) ，∴-f（-x-
3
2 ）=
1
f(-x) ，∴f（x）=
1
f(-x) ．
∴f（-1）=
1
f(1) =1，故f（-1）+f（0）+f（1）=1-2+1=0，2011=3×670+1，
∴f（1）+f（2）+…f（2011）=0×670+f（1）=1，
故答案为 1．

f(x)=-f(x+3/2) 把x换为x+3/2,代入得f(x+3/2)=-f(x+3) 那么知f(x)=f(x+3) 它是周期为3的函数 f(-1)=1=f(2)=f(5)=.. f(0)=-2=f(3)=....... 注意到奇函数关于(0,0)对称,有f(-x)=-f(x) 而此函数关于(-3/4,0)对称,有f(-x-3/2)=-f(x) 而f(x)=-f(x+3/2),得f(-x-3/2)=-f(x)=f(x+3/2) 就是f(t)=f(-t),偶函数 所以得f(-1)=1=f(1) 那么f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2008)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)=0+1=1 答案是1

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