设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值。证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵。
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-01-17 22:10
- 提问者网友：杀手的诗
- 2021-01-16 23:48
设A 是数域F上的n阶方阵,并且有n个特征值。证明,存在数域F上的可逆矩阵P使得P^-1AP为上三角矩阵。
最佳答案
- 二级知识专家网友：青尢
- 2021-01-16 23:59
我证的是T^-1AT，你再调整一下字母吧~
证明：
设λ1，...，λs为A的所有不同的实特征根，且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似，
即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J，其中，
J1 λi 1
J2 λi
J= ............... Ji=................1
Jn 为Jordan标准型，而 λi ，i=1,2,...,s
由于λi都为实数，所以J为上三角形实矩阵。
又由QR分解原理，矩阵P可以分解为TS，其中T为正交矩阵，S为上三角形矩阵，则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J，即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S，J，S^(-1)均为上三角形矩阵，故结论成立。
证毕。
追问：看不懂。。。
证明：
设λ1，...，λs为A的所有不同的实特征根，且可知A与某一Jordan标准型矩阵J相似，
即存在可逆实矩阵P使得P^(-1)AP=J，其中，
J1 λi 1
J2 λi
J= ............... Ji=................1
Jn 为Jordan标准型，而 λi ，i=1,2,...,s
由于λi都为实数，所以J为上三角形实矩阵。
又由QR分解原理，矩阵P可以分解为TS，其中T为正交矩阵，S为上三角形矩阵，则有
P^(-1)AP=S^(-1)T^(-1)ATS=J，即T^(-1)AT=SJS^(-1)
由于S，J，S^(-1)均为上三角形矩阵，故结论成立。
证毕。
追问：看不懂。。。
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- 1楼网友：青尢
- 2021-01-17 00:09
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