设T是一个有理数集，并且X>0且x平方小于2.证明：T在有理数上没有上确界？
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-01-14 05:58
- 提问者网友：末路
- 2021-01-13 19:39
设T是一个有理数集，并且X>0且x平方小于2.证明：T在有理数上没有上确界？
最佳答案
- 二级知识专家网友：深街酒徒
- 2021-01-13 20:08
反证法。设既约分数p/q是T的上确界。熟知√2不是有理数，所以(p/q)²≠2.
若(p/q)²<2, 2q²-p²>0 => 2q²-p²≥1. 取一个充分大的k使得k²>2kp+1. 记a=(kp+1)/kq∈T, 容易验证a²<2, 故a∈T. 但显然a>p/q, 这与p/q是T的上界矛盾！
若(p/q)²>2, 2q²-p²<0 => p²-2q²≥1. 取一个充分大的k使得k²>2kp-1. 记a=(kp-1)/kq∈T, 容易验证a²>2, 故a是T在有理数集中的一个上界。但a
综上，T在有理数中没有上确界。
若(p/q)²<2, 2q²-p²>0 => 2q²-p²≥1. 取一个充分大的k使得k²>2kp+1. 记a=(kp+1)/kq∈T, 容易验证a²<2, 故a∈T. 但显然a>p/q, 这与p/q是T的上界矛盾！
若(p/q)²>2, 2q²-p²<0 => p²-2q²≥1. 取一个充分大的k使得k²>2kp-1. 记a=(kp-1)/kq∈T, 容易验证a²>2, 故a是T在有理数集中的一个上界。但a
综上，T在有理数中没有上确界。
全部回答
- 1楼网友：醉吻情书
- 2021-01-13 21:01
反证法。
设有一个确定的上界t，他属于这个集合，那么他是这个集合里最大的数。
构造一个数p=(2+t)/2=1+t/2 （其实就是t和2的平均数）
可以证明p>t，并且p也是这个集合的，这就说明假设不成立。
p>t证明如下：p-t=1+t/2-t=(2-t)/2>0，所以p>t.
设有一个确定的上界t，他属于这个集合，那么他是这个集合里最大的数。
构造一个数p=(2+t)/2=1+t/2 （其实就是t和2的平均数）
可以证明p>t，并且p也是这个集合的，这就说明假设不成立。
p>t证明如下：p-t=1+t/2-t=(2-t)/2>0，所以p>t.
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