在四边形ABCD中,角ADC=90度,AC=CB,E,F分别是AC,AB的中点,且角DEA=角ACB=45度,BG⊥AC于G求证四边形AFGD是菱形?若AC=CB=10,求菱形的面积?

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1）证明：连接CF，因为CB=AC，所以CF垂直平分AB，∠ACF=1/2∠ACB=22.5°

    因为∠BGA=90°，GF是中线，所以GF=1/2AB=AF，∠BAC=∠AGF。

    同理，∠ADC=90°，DE为中线，所以∠ACD=1/2∠DEA=22.5°

    所以∠CAB=67.5°，∠CAB=67.5°，因为∠DAC=∠AGF，所以AD∥GF

    又因为∠ACD=∠ACF=22.5°，即AC是∠DCF的平分线，而AD⊥CD，AF⊥CF，所以AD=AF

 AD∥GF，AD=AF=GF，所以四边形AFGD是平行四边形，又邻边AD=AF，故是菱形。

2 ）AC=CB=10，则AD=10sin22.5°，菱形∠DAF=67.5°*2=135°

故∠DFG=45°。

过G作AD边上的高，交AD于T，所以GT=DE*sin45°

故S=10*sin22.5°*10*sin45°

    =25*√(4-2√2）  

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