一道有关函数计算问题

已知函数f（x）=2ax-1/x^2，x∈（0，1]，（1）若f（x）在x（0，1]是增函数，求a的取值范围。 需详细的解题过程

设x1,x2∈(0,1],且x1<x2,
若f(x)在x∈(0,1]是增函数,则
f(x1)-f(x2)=2ax1-1/(x1^2)-2ax2+1/(x2^2)
=2a(x1-x2)-(1/(x1^2)-1/(x2^2))
=2a(x1-x2)-((x2+x1)(x2-x1)/(x1^2*x2^2)
=(x1-x2)[2a+(x2+x1)/(x1^2*x2^2)],
因为x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0的充分必要条件是:
2a+(x2+x1)/(x1^2*x2^2)>0,
即2a>-(x2+x1)/(x1^2*x2^2)=-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2))
记m=sup{-(1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2))},(sup表示上确界)
由x1,x2的任意性知,只要2a>m即可.
而由x1,x2∈(0,1]可知
1/(x1*x2^2)+1/(x1^2*x2)>1+1=2,
所以 m=-2,
从而 a>-1.
又当a=-1时,可以证明f(x)=-2x-1/(x^2)在(0,1]是增函数.
因此,a的取值范围是:a>=-1.

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