x²分布中，期望Ex²＝n怎么证明出来

x²分布中，期望Ex²＝n怎么证明出来

令Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²，考虑到X{i}独立同分布，则E(Y)=1/n*∑{i=1,n}E(X{i}²)=E(X{i}²)=D(X{i})+E(X{i})²=σ²D(Y)=1/n²*∑{i=1,n}D(X{i}²)=1/n*D(X{i}²)=1/n*{E(X{i}⁴)-[E(X{i}²)]²}∵E(X{i}⁴0，有0≤P{|Y-E(Y)|≥ε}≤D(Y)/ε²，即0≤P{|Y-σ²|≥ε}≤1/n*{E(X{i}⁴)-[E(X{i}²)]²}/ε²≤1/n*(M-σ⁴)/ε²而lim{n→∞}1/n*(M-σ⁴)/ε²=0由夹逼定理可知，lim{n→∞}P{|Y-σ²|≥ε}=0即Y=1/n*∑{i=1,n}X{i}²依概率收敛于σ²

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