用换元法求∫x∧4dx/√（1-x∧2）∧3
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解决时间 2021-01-15 02:15
- 提问者网友：棒棒糖
- 2021-01-14 15:19
用换元法求∫x∧4dx/√（1-x∧2）∧3
最佳答案
- 二级知识专家网友：北方的南先生
- 2021-01-14 15:53
解：设x=sinθ，则原式=∫(sinθ)^4dθ/(cosθ)^2。
而(sinθ)^4/(cosθ)^2=[1-(cosθ)^2]^2/(cosθ)^2=(secθ-cosθ)^2=(secθ)^2-2+(cosθ)^2=(secθ)^2-3/2+(1/2)cos2θ)，
∴原式=∫[(secθ)^2-3/2+(1/2)cos2θ)]dθ=tanθ-3θ/2+(1/4)sin2θ+C，
∴原式=x/√(1-x^2)-(3/2)arcsinx+(1/2)x√(1-x^2)+C。
而(sinθ)^4/(cosθ)^2=[1-(cosθ)^2]^2/(cosθ)^2=(secθ-cosθ)^2=(secθ)^2-2+(cosθ)^2=(secθ)^2-3/2+(1/2)cos2θ)，
∴原式=∫[(secθ)^2-3/2+(1/2)cos2θ)]dθ=tanθ-3θ/2+(1/4)sin2θ+C，
∴原式=x/√(1-x^2)-(3/2)arcsinx+(1/2)x√(1-x^2)+C。
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