△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°,E、F分别是BC的点，且∠EAF=45°，求证：BE²+CF²=EF²

△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°,E、F分别是BC的点，且∠EAF=45°，求证：BE²+CF²=EF²

证明：如图，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，则旋转后B与C点重合，E点旋转至D点。

连接DF。所以∠DCF=∠ACD+∠ACB=90°，CD=BE，BE^2+CF^2=CD^2+CF^2=DF^2

接着证明DF=EF。

∠EAF=45°，∠DAF=∠CAD+∠CAF=∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，所以∠EAF=∠DAF。

在△AFE与△AFD中，AF=AF，∠FAE=∠FAD，AE=AD

所以△AFE≌△AFD，DF=EF

所以BE^2+CF^2=EF^2

BE²+CF²=EF²。 证明：作BD⊥BC与AD⊥AF相交于D，连结DE。 因为BD⊥BC，∠ABC=45°（等腰直角三角形），∴∠ABD=45°=∠C，又因为∠DAF=∠BAC=90°，等量减等量得∠DAB=∠FAC，加上AB=AC，则△DAB≌△FAC，∴BD=CF，AD=AF，∵∠DAE=∠DAF-∠EAF=45°=∠EAF，又AE=AE，∴△ADE≌△AFE，DE=EF，∵∠EBD=90°，勾股定理知BE²+BD²=DE²，所以BE²+CF²=EF²

把C点与F点重合之间的距离等于0

再把公式列出完全符合。

需要求证的话用这幅图会简单些。

证:如图,把三角形aeb以点a为中心转90度,得上图,连b'f

所以cb'=eb

角bcf=90度

又因为af=af；ab‘=ae；角b'af=角fae

所以三角形b'af与三角形fae全等（sas）

所以b'f=fe

因为三角形b'cf为RT三角形

所以cb'^2+cf^2=bf'^2

得BE²+CF²=EF²

图？

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