能否证明函数lnx上两点间连线的斜率比他们中点切线的斜率大

能否证明函数lnx上两点间连线的斜率比他们中点切线的斜率大

不妨令：x2>x1
即证：lnx2-lnx1>2(x2-x1)/(x1+x2)
即证：ln(x2/x1)>2(x2/x1-1)/(1+x2/x1)
令x=x2/x1，01
即证：lnx>2(x-1)/(x+1)
2(x-1)/(x+1)=2[(x+1)-2]/(x+1)=2-4/(x+1)
即证：lnx>2-4/(x+1)
即证：lnx+4/(x+1)-2>0 对x>1恒成立
令f(x)=lnx+4/(x+1)-2，定义域为x>1
即证：f(x)>0，对x>1恒成立
f'(x)=1/x-4/(x+1)²=[(x+1)²-4x]/x(x+1)²=(x-1)²/x(x+1)²≧0
所以，f(x)在定义域上递增，所以，f(x)>f(1)
f(1)=0
所以，f(x)>0
证毕。

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