设n为任意整数,试证:n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数

要有详细的过程

一种解法
n和n+1有一个是偶数
所以n(n+1)(2n+1)能被2整除

若n能被3整除，则n(n+1)(2n+1)能被3整除
若n除3余数是2，则n+1除3余数是3，即能整除
若n除3余数是1，3k+1，则2n+1=6k+2+1=6k+3能被3整除
所以能被3整除

2和3互质，所以能被3整除能被2*3=6整除

二种解法
n除以3的余数只有3个可能:0,1,2.
可以把n分3类:3k,3k+1,3k+2
k表示整数

1.n=3k
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
2.n=3k+1
2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
3.n=3k+2
n+1=3k+3能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除

设a=n(n+1)(2n+1),要证明n是任意整数，n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数

只需证明n是任意整数,a能被6整除.

当n=1 时a=6 能被6整除

当n=2时a=30显然也能被6整除.

假设一整数k,k=n-1,

再假设k能使用a被6整除,即a=(k+1)(k+2)(2k+3)能被6整除

所以当数为n时

此时a=(k+1)(k+2)(2k+1+2)=(k+1)[k*(2k+1)+2(2k+1)+2k+4]

化简得a=(k+1)k*(2k+1)+(k+1)*[6k+6]=(k+1)k*(2k+1)+6(k+1)^2

因为=(k+1)(k+2)(2k+3)能被6整除 6(k+1)^2显然也能被6整除

所以(k+1)k*(2k+1)+6(k+1)^2能被6整除

由此可得当k=n-1时a能被6整则当数为n时a也能被6整除

因为k=2时a=30能被6整除所以n=3也能被6整除

依此类推得n(n>1)是任意整数，n(n+1)(2n+1)一定是6的倍数

当n=1时a=6能被6整除

综上n为任意整数，n(n+1)(2n+1)均能被6整除 即为6的倍数

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