若A为n×n的实正定矩阵，则存在可逆的对称矩阵S使得A＝S²
答案:1 悬赏:70
解决时间 2021-01-15 21:43
- 提问者网友：最爱你的唇
- 2021-01-15 14:13
若A为n×n的实正定矩阵，则存在可逆的对称矩阵S使得A＝S²
最佳答案
- 二级知识专家网友：拾荒鲤
- 2021-01-15 14:22
“必要性”（?）利用反证法进行证明．反设：r（A）＜n，则|A|=0．于是λ=0是A的特征值，假设相应的特征向量为x，即：Ax=0（x≠0），所以：xTAT=0．从而：xT（AB+BTA）x=xTABx+xTBTAx=0，与AB+BTA是正定矩阵矛盾，故假设不成立．所以，秩（A）=n． “充分性”（?）因为 r（A）=n，所以A的特征值λ1，λ2，…，λn全不为0．取矩阵B=A，则：AB+BTA=AA+AA=2A2，它的特征值为：2λ12，2λ22，…，2λn2全部为正，所以AB+BTA是正定矩阵．
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