a+b+c=0 a^2+b^2+c^2=4 求a^4+b^4+c^4

a+b+c=0 a^2+b^2+c^2=4 求a^4+b^4+c^4

a+b+c=0,a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b
a^2+b^2+c^2
=((a+b)^2-2ab+(a+c)^2-2ac+(b+c)^2-2bc)/2
=(a^2+b^2+c^2)/2-(bc+ac+ab )
=2-(bc+ac+ab )
得bc+ac+ab =-2
(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2(b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2)=16
(bc+ac+ab)^2=b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2+2abc(a+b+c)=4
得b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2=4
得a^4+b^4+c^4=16-8=8

由a+b+c=0 得 （a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0（1） ，又由于a^2+b^2+c^2=4 (2) ab+ac+bc=-2 (3),则（ab+ac+bc)^2=aabb+aacc+bbcc+2aabc+2abbc+2abcc=aabb+aacc+bbcc+2abc(a+b+c)=aabb+aacc+bbcc=4
由(2) 式，
a^4+b^4+c^4+2(aabb+aacc+bbcc)=16
a^4+b^4+c^4=8

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