数学平行线分线段成比例

已知:如图(1),AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD和BD相交于点E,EF垂直BD.垂足为F,我们可以证明1/AB+1/CD=1/EF成立(不用证明)

若将图(1)中的垂直改为斜交,如图(2),AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E做EF∥AB,交BD于点F,则:

(1)1/AB+1/CD+1/EF还成立吗?如果成立,请给出证明,不成立,给出理由

(2)请找出S△ABD,S△BED,S△BDC间的关系式,并证明

(1)

(2)

1，1/AB+1/CD+1/EF成立

证明：∵AB平行CD

∴EF/AB=FD/BD    ①

∵EF平行AB

EF/CD=FB/BD    ②

① + ②得：EF/AB+EF/CD=FD/BD+FB/BD

∴EF/AB+EF/CD=1两边同除以EF

∴1/AB+1/CD=1/EF

2，1/S△ABD+1/S△BCD=1/S△DBE

分别过A，E，C作BD的垂线分别交于G，H，I

可证明△ABG，△EFH，△CDI相互相似

∴EF/AB=EH/AG，EF/CD=EH/CI

∴EH/AG+EH/CI=1

∴EH×BD/（BD×AG）+EH×BD（/CI×BD）=1

1/（BD×AG）+1/（CI×BD）=1/EH×BD

∴1/S△ABD+1/S△BCD=1/S△DBE

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