已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5

已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求n项和

解：
(1)
设{an}公比为q，则q>0，设{bn}公差为d。
a5-3b2=7，b2=(a5-7)/3
b1+b2+b3=3b2=1+2a3，b2=(2a3+1)/3
(a5-7)/3=(2a3+1)/3
a1q⁴-7=2a1q²+1
a1=1代入，整理，得q⁴-2q²-8=0
(q²+2)(q²-4)=0
q²=-2(舍去)或q²=4
q>0，q=2
b2=(a1q⁴-7)/3=(1·2⁴-7)/3=3
d=b2-b1=3-1=2
an=a1qⁿ⁻¹=1·3ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹
bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ⁻¹，数列{bn}的通项公式为bn=2n-1
(2)
cn=anbn=(2n-1)·2ⁿ⁻¹
Tn=1·1+3·2+5·2²+...+(2n-1)·2ⁿ⁻¹
2Tn=1·2+3·2²+...+(2n-3)·2ⁿ⁻¹+(2n-1)·2ⁿ
Tn-2Tn=-Tn
=1+2·2+2·2²+...+2·2ⁿ⁻¹-(2n-1)·2ⁿ
=1+2·(2+2²+...+2ⁿ⁻¹)-(2n-1)·2ⁿ
=1+2·2·(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ
=(3-2n)·2ⁿ-3
Tn=(2n-3)·2ⁿ+3

望采纳，谢谢！

解： (1) 设{an}公比为q，则q>0，设{bn}公差为d 由b2+b3=2a3，a5-3b2=7得2b1+3d=2a1q²，a1q⁴-3b1-3d=7 a1=1，b1=1代入，整理，得2q²=3d+2，q⁴=3d+10 q⁴-2q²-8=0 (q²+2)(q²-4)=0 q²=-2(舍去)或q²=4 q=-2(舍去)或q=2 d=(2q²-2)/3=(2·2²-2)/3=2 an=a1q^(n-1)=1·2^(n-1)=2^(n-1) bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1 数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)，{bn}的通项公式为bn=2n-1 (2) cn=an·bn=(2n-1)·2^(n-1) Tn=c1+c2+c3+...+cn=1·1+3·2+5·2²+...+(2n-1)·2^(n-1) 2Tn=1·2+3·2²+...+(2n-3)·2^(n-1)+(2n-1)·2ⁿ Tn-2Tn=-Tn=1+2·2+2·2²+...+2·2^(n-1)-(2n-1)·2ⁿ =2·[1+2+...+2^(n-1)]-(2n-1)·2ⁿ -1 =2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ -1 =(3-2n)·2ⁿ -3 Tn=(2n-3)·2ⁿ +3

因为a3+b5=21,a5+b3=13,{an}是等差数列，{bn}是等比数列 所以a1+2d+b1*q^4=21,a1+4d+b1*q^2=13 因为a1=b1=1 所以2d+q^4=20,4d+q^2=12 2d+q^4=20方程乘以2得4d+2*q^4=40 用4d+2*q^4=40减去4d+q^2=12得2*q^4-q^2-28=0即(2*q^2+7)*(q^2-4)=0 所以2*q^2=-7或q^2=4 当2*q^2=-7时q^2=-3.5(不符合,舍去) 当q^2=4时q=2或-2 因为bn}是各项都为正数的等比数列 所以q=2 综上所述得q=2 带入4d+q^2得d=2 所以 an=2n-1 bn=2^(n-1) (2) an/bn=(2n-1)/2^(n-1) 叠加 a1/b1=1 a2/b2=3/2 …… sn=1+3/2+5/4+7/8+……(2n-1)/2^(n-1).....(1) 2sn=2+3+……+(2n-1)/2^(n-2)......（2) (2)-(1),得 sn=6-(4n+6)/(2^n)

先依题意设an=a1*q^(n-1)=q^(n-1) (q>0,n>=2) bn=b1+(n-1)*d (n>=2) b2+b3=2a3 ==>b1+d+b1+2d=2q^2 ==>2q^2-2-3d=0 ① a5-3b2=7 ==>q^4-3(b1+d)=7 ==>q^4-3d-10=0 ② ②-①得：q^4-2q^2-8=0 ==>q^4-2q^2+1-9=0 ==>(q^2-1)^2=3^2 ==>q^2=4 ==>q=2 代入①式得：d=2 an=2^(n-1) (n>=2)，由于a1=1符合公式，所以an的通项公式是an=2^(n-1) bn=1+2(n-1)=2n-1(n>=2)，由于b1=1符合公式，所以bn的通项公式是2n-1 cn=an*bn=2^(n-1) * (2n-1) Sn=1*1+2*3+4*5+...+2^[(n-1)-1] * [2(n-1)-1] + 2^(n-1) * (2n-1) 2Sn=2*1+4*3+8*5...+2^(n-1) * [2(n-1)-1] + 2^n * (2n-1) Sn-2Sn=1*1+2*2+4*2+...+2^(n-1)*2 - 2^n * (2n-1) =1-2^n * (2n-1)+2^2+2^3+2^4+...+2^n =1-2^n * (2n-1)+2^(n+1)-4 =2^n (3-2n)-3

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