泛函分析里 有界与完全有界之间有什么关联？

泛函分析里 有界与完全有界之间有什么关联？

集合X有界的定义是存在r＞0，使任意x，y∈X有，d(x,y)≤r。完全有界要对任意r，存在有限个以r为半径的开球覆盖X。完全有界集一定有界，因为对任意x，y∈X，存在开球A，B，使x∈A，y∈B，由于开球数有限，假设为N，开球A，B中心为x‘，y’，则d(x,y)≤|x-x‘|+|y-y'|+Nr，故X有界。反之不成立，以有无穷点的离散度量空间为例：

显然取任意大于1的r都能使d(x,y)≤r，但是对r＜1，无法用有限个半径为r的开球覆盖X。

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