如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连结FE并廷长交BC的延长线于点G，连接BF、BE．且B

如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连结FE并廷长交BC的延长线于点G，连接BF、BE．且BE⊥FG；（1）求证：BF=BG．（2）若tan∠BFG=3，S△CGE=63，求AD的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DCG=90°．
在△EDF和△ECG中，








∠D＝∠DCG
DE＝CE
∠DEF＝∠CEG
∴△EDF≌△ECG
∴EF=EG
∵BE⊥FG
∴BE是FG的中垂线，
∴BF=BG；
（2）解：∵BF=BG
∴∠BFG=∠G
∴tan∠BFG=tan∠G=



3
设CG=x，CE=



3 x，
则S△CGE＝




3
2 x2＝6



3 ，
解得：x=2



3
∴CG=2



3 ，CE=6
由射影定理得：EC2=BC?CG，
∴BC=6

（1）证明：∵e是cd的中点， ∴de=ce， 在正方形abcd中，∠bcd=∠d=90°， 在△def和△ceg中， ∠bcd＝∠d＝90° de＝ce ∠def＝∠ceg ， ∴△def≌△ceg（asa）， ∴cg=df； （2）解：过点f作fh⊥bc于h， 则四边形abhf和四边形cdfh都是矩形， ∴df=hc，af=bh， ∴gh=2df， 设af=x，则df=6-x， gh=2（6-x）， ∵bf＞gf， ∴af＞gh， ∴x＞2（6-x）， 解得x＞4， 又∵点f在ad上， ∴x＜6， ∴4＜x＜6．

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