已知α、β是锐角α+β≠π/2，且满足3sinβ=sin(2α+β) (1)求证 tan(α+β)=2tanα (2)用tanα表示tanβ

已知α、β是锐角α+β≠π/2，且满足3sinβ=sin(2α+β) (1)求证 tan(α+β)=2tanα (2)用tanα表示tanβ

(1)令x=α+β,y=α,则有β=x-y,y,x-y∈(0,π/2)且x≠π/2.于是tany,tan(x-y)>0,tanx存在

3sinβ=sin(2α+β)就是3sin(x-y)=sin(x+y).3sinxcosy-3cosxsiny=sinxcosy+cosxsiny.因此2sinxcosy=4cosxsiny,tanx=2tany.也就是tan(α+β)=2tanα

(2)tanβ=tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)=tany/(1+2tan²y)=tanα/(1+2tan²α)

因为sinβ=sin(α+β-α)，sin(2α+β)=sin(α+β+α) 所以由题得：3sinβ=3sin(α+β-α)=3sin(α+β)cosα-3sinαcos(α+β)①，

sin(2α+β)=sin(α+β+α)=sin(α+β)cosα+sinαcos(α+β)②。

①②联立即：sin(α+β)cosα+sinαcos(α+β）=3sin(α+β)cosα-3sinαcos(α+β）即2sin(α+β)cosα=4sinαcos(α+β）所以：sin(α+β)/cos(α+β）=2sinα/cosα 既tan(α+β)=2tanα。

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