微积分，证明不等式

详解 22（1），23（1）

22(1)令f(x)=xlnx+e^(a-1)-ax 则f`(x)=lnx+1-a
所以当x>e^(a-1) f`(x)>0 f(x)单调增加 0<x<e^(a-1) f`(x)<0 f(x)单调减少
所以f(x)在点e^(a-1)有最小值，所以f(x)>=f(e^(a-1))=0所以ax<=xlnx+e^(a-1)
23(1)令f(x)=(lnx)^2 则f`(x)=(2lnx)/x
对区间[a,x]用拉格朗日定理有f(x)-f(a)=f`(ξ)(x-a)=2lnξ/ξ(x-a),其中ξ∈(a,x)
再令g(t)=2lnt/t,所以g`(t)=(2-2lnt)/t^2 所以t>e时g`(t)<0即g(t)单调减少 所以g(ξ)>g(e^2)=4/e^2
所以f(x)-f(a)>4(x-a)/e^2

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