埃利·约瑟夫·嘉当的科研成果

埃利·约瑟夫·嘉当的科研成果

在“科研简介”中,他把自己的工作分成15个领域。用现代术语来描述，他们是：
李群
李群的表示
超复数(Hypercomplex number), 除法代数(division algebra)
PDE系统, Cartan-Kähler定理
等价性理论
可积系统，延长理论(theory of prolongation)和回旋系统(systems in involution)。
无穷维群和伪群
微分几何和活动标架法
一般化空间及其上的结构群和联络，嘉当联络，和乐(holonomy)，Weyl张量
李群的几何和拓扑
黎曼几何
对称空间
紧群的拓扑和它们的齐次空间
积分不变量和经典力学
相对论, 旋子
这些课题的大部分被后来的数学家完整地研究了。但不是全部：嘉当自己的方法惊人的统一，但大部分的后续工作可以说失去了他的特色。也就是说，变得更代数化。
看看这些不太主流的领域：
PDE理论必须包含奇异解(也就是包络]),例如在Clairaut方程中所见到的那样;
延长方法应该在回旋系统中中止(这是解析理论，而不是光滑理论，并导向形式化可积性理论和Spencer上同调)；
等效性问题，如他所说，是通过把结构的图像变成微分系统的积分流形来建立它们的微分同胚(并由此发现不变量)；
活动标架法，不但和主丛和它们的联络有关，也需要使用和几何相适应的标架；
现在，Ehresmann的jet丛方法被用于把切触作为系统化的等价关系。
所以，从某种意义上来说，嘉当的工作的独特的一面仍然正在被数学家们所消化。这可以在诸如变分法，Bäcklund变换和微分系统的一般理论之类的领域中不断地见到；大致来讲，这些是微分代数的那些感到现存的加罗华理论所导出的对称性模型过于狭窄并需要使用和关系的范畴更类似的东西的部分领域。

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