已知，如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP，垂足为G，交CE与D.求证：CE平方=PE.DE

已知，如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP，垂足为G，交CE与D.求证：CE平方=PE.DE

证明：
∵∠ ACB=90，CE是高

∴∠ AEC=∠ CEB=90

∵∠ ACE+∠ CAE=90，∠ ACE+∠ ECB=90

∴∠ CAE=∠ ECB
∴△CAE∽△BCE

∴CE：BE=AE：CE

即：CE²=AE·BE

∵BG⊥AP

∴∠ P+∠ PAB=90，∠ ABG+∠ PAB=90

∴∠P=∠ABG

∴△DBE∽△APE

∴BE：PE=DE：AE

即PE·DE=BE·AE

∴CE²=PE·DE

证明：

∵AC⊥BC ∴∠ACE+∠BCE=90° ∵CE⊥AB ∴∠CBE+∠BCE=90° ∴∠ACE=∠CBE 同理∠EAC=∠ECB ∴△ACE∽△CBE ∴AE/CE=CE/BE ∴CE^2=AE*BE ∵BG⊥AP ∴∠BAG+∠ABG=90° ∵CE⊥AB ∴∠BAG+∠APE=90°∠DBE+∠BDE=90° ∴∠ABG=∠APE,∠EAG=∠EDB ∴△BED∽△PEA ∴AE/PE=DE/BE ∴AE*BE=PE*DE ∴CE^2=PE*DE

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