已知定义在R的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),在1到7上只有f(1)=f(3)=0，求f(X)奇偶性

问题补充：
错了，是0到7上只有f(1)=f(3)=0

非奇非偶
由f(2-x)=f(2+x），f(-1)=f(5)而0到7上只有f(1)=f(3)=0，所以f(5)不等于0
所以f(1)也不等于0，所以f(-1)不等于f(1)，不可能为偶函数，
f(-1)不等于-f(1)所以不可能为奇函数

解：易知，对任意实数x∈r,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在r上是以10为周期的周期函数。【1】由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[1,7]上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾。∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾。∴f(3)+f(-3)≠0.综上可知，在r上，函数f(x)非奇非偶。【2】①由f(10+x)=f(x)及题设“在[0,7]上，仅有f(1)=f(3)=0“可知，f[1+10k]=f[3+10m]=0.(k,m∈z).由此可得-2008≤1+10k≤2008,且-2008≤3+10m≤2008.===>-200.9≤k≤200.7且-201.1≤m≤200.5===>k=-200,-199,-198,....199,200.计401个。m=-201,-200,-199,....198,199,200.计402个。∴满足题设的解共有803个。

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