Cauchy方程

Cauchy方程

就是 柯西方程指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x，y属于R f(x)为单调函数，（或连续函数）一楼写的很好，下面我举个例子说明。证明若f(x)≥0,且f²(x+y)=f²(x-y)=2[f²(x)+f²(y)],则f(x)=a|x| (a>0) 首先，f(x)=0满足条件，而且第一个=应为+ 因为f(y)=f(-y)，f(0)=0,所以可以只考虑x>0情况 设f(1)=a>0 (如果f(1)=0，则f(x)=0),f(2)=f(1+1)=2a, 以次类推，f(2^n)=(2^n)a. 用样可以证明f(1/2^n)=(1/2^n)a (f²(1/2+1/2)+f²(1/2-1/2)=2[f²(1/2)+f²(1/2)]) 这里，可以把1替换成任意数p，所以f((2^n)p)=(2^n)f(np) 可以用数学归纳法证明对于任何奇数p，f(p)=ap f(1)=a为初始条件， f²(2n+1)+f²(2n-3)=2[f²(2n-1)+f²(2)]归纳 对于整数n，m，n>m f²(2^n+2^m)+f²(2^n-2^m)=2[f²(2^n)+f²(2^m)] f(2^n-2^m)=f(2^m(2^(n-m)-1))=(2^n-2^m)a因为2^(n-m)-1是奇数 可以算出f(2^n+2^m)=(2^n+2^m)a 由于任何实数有二进制表示，且f对于2^n的运算为线性 所以对于任何大于0的实数，f(x)=ax 补充，需要对于函数进行连续性验证。 先证明在0点右连续，再证明在任意点连续 可以假设在0点不收敛于0，得出矛盾 这就是函数方程。此外还可以参考一下书本如：《函数与函数方程》

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息！