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如图
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(1)
∫[1：e][(1+lnx)/x]dx
=∫[1：e](1+lnx)d(lnx)
=(lnx+½ln²x)|[1：e]
=(lne+½ln²e)-(ln1+½ln²1)
=(1+½)-(0+0)
=3/2
(2)
∫[0：1][x²/(x+1)]dx
=∫[0：1][(x-1 +1/(x+1)]dx
=[½x²-x+ln(x+1)]|[0：1]
=[½·1²-1+ln(1+1)]-[½·0²-0+ln(0+1)]
=(½-1+ln2)-(0-0+0)
=ln2-½
(3)
∫[1：e²]dx/[x(lnx+1)]
=∫[1：e²]d(lnx+1)/(lnx+1)
=ln(lnx+1)|[1：e²]
=ln(lne²+1)-ln(ln1+1)
=ln3-0
=ln3
(4)
∫[0：4]1/(1+√x)dx
=∫[0：2]1/(1+t)d(t²)
=∫[0：2][2- 2/(1+t)]dt
=[2t-2ln(1+t)]|[0：2]
=[2·2-2ln(1+2)]-[2·0-2ln(1+0)]
=(4-2ln3)-(0-0)
=4-2ln3
(5)
∫[0：3]xdx/[1+√(1+x)]dx
=∫[1：2](t²-1)d(t²-1)/(1+t)
=∫[1：2](2t²-2t)dt
=(⅔t³-t²)|[1：2]
=(⅔·2³-2²)-(⅔·1³-1²)
=5/3
(6)
∫[-1：1]xdx/√(5-4x)
=∫[3：1][(5-t²)/4]d[(5-t²)/4]/t
=⅛∫[3：1](t²-5)dt
=⅛(⅓t³-5t)|[3：1]
=⅛[(⅓·1³-5·1)-(⅓·3³-5·3)]
=1/6

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