凸透镜成像规律的推导方法

凸透镜成像规律的推导方法

实物AB发出的平行与主光轴的光过焦点F2与过透镜中心的光交与点E
　　则DE为实像，BO为物距u，DO为像距v
　　由相似三角形可以得到BO/OD=AB/DE
　　CO/DE=OF2/F2D
　　又由矩形ABOC可以得到AB=CO
　　所以OF2/F2D= AB/DE= BO/OD
　　即f/（v-f）=u/v
　　uv-uf=vf（交叉相乘）
　　uv=uf+vf
　　uv/f=u+v（两边同时除以f）
　　v/f=1+v/u（两边同时除以u）
　　1/f=1/u+1/v（两边同时除以v）

凸透镜的成像规律是1/u+1/v=1/f（即：物距的倒数与像距的倒数之和等于焦距的倒数。一共有两种推导方法 。分别为“几何法”与“函数法” 【题】如右图 ，用几何法证明1/u+1/v=1/f。【解】∵△ABO∽△A'B'O
∴AB:A'B'=u:v
∵△COF∽△A'B'F
∴CO:A'B'=f:(v-f)
∵四边形ABOC为矩形
∴AB=CO
∴AB:A'B'=f:(v-f)
∴u:v=f:(v-f)
∴u(v-f)=vf
∴uv-uf=vf
∵uvf≠0
∴(uv/uvf)-(uf/uvf)=vf/uvf
∴1/f-1/v=1/u
即：1/u+1/v=1/f 【题】 如右图 ，用函数法证明1/u+1/v=1/f。【解】一基础
右图为凸透镜成像示意图。
其中c为成像的物体长度，d为物体成的像的长度。u为物距，v为像距，f为焦距。
步骤
（一）为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴（x轴）关联（即重合），将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴（y轴）关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联。则：点A的坐标为（-u,c），点F的坐标为（f,0），点A'的坐标为（v,-d），点C的坐标为（0，c）。
（二）将AA’，A'C双向延长为直线l1,l2，视作两条函数图象。由图象可知：直线l1为正比例函数图象，直线l2为一次函数图象。
（三）设直线l1的解析式为y=k1x,直线l2的解析式为y=k2x+b
依题意，将A(-u,c),C(0,c),F(f,0)代入相应解析式得方程组：
c=-u·k1
c=b
0=k2f+b
把k1,k2当成未知数解之得：
k1=-(c/u), k2=-(c/f)
∴两函数解析式为：
y=-(c/u)x, y=-(c/f)x+c
∴两函数交点A'的坐标（x,y)符合方程组
y=-(c/u)x
y=-(c/f)x+c
∵A'(v,-d)
∴代入得：
-d=-(c/u)v
-d=-(c/f)v+c
∴-(c/u)v=-(c/f)v+c=-d
∴(c/u)v=(c/f)v-c=d
cv/u=(cv/f)-c
fcv=ucv-ucf
fv=uv-uf
∵uvf≠0
∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf)
∴1/u=1/f-1/v
即：1/u+1/v=1/f

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