高中函数题

高中函数题

1. 二次函数f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1 求f(X)
解析：∵二次函数f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1
f(x+1)=f(x)+2x
f(1)=f(0)=1
f(2)=f(1)+2?1=3
f(3)=f(2)+2?2=7
f(4)=f(3)+2?3=13
……
f(n)=1+2(1+2+3+…+n-1)=n(n-1)+1
∴F(x)=x^2-x+1

2．讨论f(x)=ax/(x2-1) 在（-1,1）的单调性
解析：∵f(x)=ax/(x2-1)，其定义域为x≠-1,x≠1
f’(x)=-a(1+x^2)/(x2-1)^2
∵(1+x^2)/(x2-1)^2>0,∴f’(x)的符号取决于a
∴当a>0时，函数f(x)在（-1,1）的单调减；当a<0时，函数f(x)在（-1,1）的单调增；

3. 若函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=1/x+x (x≠0）
(1)解析：∵函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=1/x+x (x≠0）（a）
∴f(-x)-2f(x)=-1/x-x (b)
(a)+2*(b)得-3f(x)=-x-1/x==>f(x)=(x^2+1)/(3x)
(2)解析：f’(x)=(3x^2-3)/(3x)^2
f’(3)>0, f’(5)>0,∴f(x)在区间[3，5]上单调增
∴f(x)在x∈[3,5]的最大值为f(5)=26/15，最小值为f(3)=10/9

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