书上说四边形余弦定理可以托勒密定理，怎么推啊？
答案:1 悬赏:80
解决时间 2021-10-14 18:57
- 提问者网友：太高姿态
- 2021-10-13 21:59
书上说四边形余弦定理可以托勒密定理，怎么推啊？
最佳答案
- 二级知识专家网友：拜訪者
- 2021-10-13 22:33
设四边形ABCD的边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，对角线为m,n。
四边形的余弦定理:
(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd*cos(A+C)
托勒密定理:
mn=ac+bd
四边形的余弦定理中的四边形是任意四边形，而托勒密定理中的四边形是圆的内接四边形，而圆的内接四边形中有个定理是两对角之和是180度，即A+C=180度，cos(A+C)=-1，带入到四边形的余弦定理公式中就得(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2+2abcd=(ac+bd)^2,也即mn=ac+bd，这就得到托勒密定理。事实上托勒密定理是四边形的余弦定理的一种特殊情况，明白了吧。
四边形的余弦定理:
(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd*cos(A+C)
托勒密定理:
mn=ac+bd
四边形的余弦定理中的四边形是任意四边形，而托勒密定理中的四边形是圆的内接四边形，而圆的内接四边形中有个定理是两对角之和是180度，即A+C=180度，cos(A+C)=-1，带入到四边形的余弦定理公式中就得(mn)^2=(ac)^2+(bd)^2+2abcd=(ac+bd)^2,也即mn=ac+bd，这就得到托勒密定理。事实上托勒密定理是四边形的余弦定理的一种特殊情况，明白了吧。
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