数学问题【2】

已知线段AB=√3，动点M,N在线段AB的同一侧，且满足AM=MN=NB=1,设△AMB,△MNB的面积分别是S,T，则S²+T²的最大值是

A.3/8

B.5/8

C.7/8

D.9/8

 

答案是C，为什么啊，

设∠MNB＝α,∠MAB＝β,S＝1／2·1·1·sinα，T＝1／2·1·√3·sinβ，S²+T²＝1／4sin²α＋3／4sin²β

＝1／4－1／4cos²α＋3／4－3／4cos²β＝1－1／4﹙cos²α＋﹙√3cosβ﹚²﹚为了简便，不妨令cosα＝m，√3cosβ＝n，现在要求m²＋n²的最小值

利用余弦定理，MB＝1²＋1²－2·1·1·m＝1²＋﹙√3﹚²－2·1·n，那么，化简可得，n＝m＋1

m²＋n²＝2m²＋2m＋1＝2﹙m＋1／2﹚²＋1／2≥1／2，S²+T²≤7/8

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