二元关系的性质

二元关系的性质

关系的性质主要有以下五种：自反性，反自反性，对称性，反对称性和传递性。
自反性：
在集合X上的关系R，如对任意 ，有 ，则称R是自反的。
反自反性（自反性的否定的强形式）：
在集合X上的关系R，如对任意 ，有 ，则称R是反自反的。
对称性：
在集合X上的关系R，如果有 则必有 ，则称R是对称的。
反对称性（不是对称性的否定）：
非对称性（对称性的否定的强形式）：
非对称关系是满足反自反性的反对称关系。
传递性：
实例
例1：
设A={1,2,3},R1,R2和R3是A上的关系，其中
R1={<1,1>,<2,2>}
R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
R3={<1,3>}
则R2是自反的，R3是反自反的，R1既不是自反的也不是反自反的。
例2：
设A={1,2,3},R1,R2,R3和R4是A上的关系，其中
R1={<1,1>,<2,2>}
R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>}
R3={<1,2>,<1,3>}
R4={<1,2>,<2,1>,<1,3>}
则R1既是对称的也是反对称的。R2是对称的但不是反对称的。R3是反对称的但不是
对称的。R4既不是对称的也不是反对称的。
例3：
设A={1,2,3}，R1,R2和R3是A上的关系，其中
R1={<1,1>,<2,2>}
R2={<1,2>,<2,3>}
R3={<1,3>}
则R1和R3不是A上的传递关系，R2是A上的传递关系。

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