置换群的置换群的循环表示

置换群的置换群的循环表示

约定 为一个m阶的循环表示，其表示为将 替换为 ， 将 替换为 ，......， 将 替换为 ，将 替换为 。(a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m种表示方法。
若两个循环无共同文字，称为不相交的，不相交的循环相乘可交换。 任一置换可表成若干不相交循环的乘积。比如 称为是置换的循环表示。证明如下：
对给定的任一置换p= ，从1开始搜索
1→ → →…→ →1得一循环(1 … ),
若(1 … )包含了[1,n]的所有文字，则命题成立。
否则在余下的文字中选一个，继续搜索,又得一循环。直到所有文字都属于某一循环为止。
因不相交循环可交换，故除了各个循环的顺序外，任一置换都有唯一的循环表示。
2阶循环(i,j)叫做对换，任意一个循环都能表达成若干换位之积。任意一个循环分解为若干之积不是唯一的，甚至与连换位的数目都不相同。例如(12 …n)=(23)(2 4)…(2 n)(2 1)，(12 3) = (12)(13) = (12)(13)(31)(13)。但是有一个性质是不变的，即换位数目的奇偶性不变。即一个置换分解为若干个数目的置换之积，可分解成奇数个换位之积的置换，不可能表示为偶数个换位之积；反之，也成立。证明如下：
设l,k(l
其中A为不含有xk和xl项的部分
若将l和k换位，(l k)f =-f
每次对换都改变f的符号，则对应的分解的奇偶性是唯一的。 置换分成两大类：奇置换与偶置换。
若一个置换能分解为奇数个换位之积，则为奇置换，若可以分解为偶数个换位之积，则为偶置换。
S= (1)(25)(37)(46) 3个换位，奇置换
S= (1) (2) (3) (4) (5) 0个换位，偶置换
例右图中0表示空格，有些布局通过左图偶数次换位得到，有些是奇数次换位得到，但奇数次换位得到的不能通过偶数次换位来得到。如果限制任一变动都是与0做相邻的对换，是否能够由左图生成右图？
显然0从右下角出发回到右下角，水平方向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇置换不会等于一个偶置换。
[1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为n阶对称群(Symmetricgroup)，记做Sn.
定理： Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2的子群称为交错群，记做An.
(1)封闭性:偶置换相乘还是偶置换
(2)结合律：置换群的结合律
(3)单位元：置换群的单位元素本身就是偶置换
(4)逆元 =
设 p =()()…(),则p-1 = ()…()
故An为群
令Bn=Sn-An,|Bn|+|An|=n!,
则(ij) BnAn，所以 |Bn|≤|An|，
(ij) An Bn，所以|An|≤|Bn|∴|An|=|Bn|=(n!)/2

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