三边a,b,c满足a²-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0探求△ABC的最长边

三边a,b,c满足a²-a-2b-2c=0,a+2b-2c+3=0探求△ABC的最长边

通过计算可得 a=1+2b a>b
a=2+c a>c
得出 最长边是a

a²-a-2b-2c=0①

a+2b-2c+3=0②

①+②得 a²-4c+3=0, ∴c=(a²+3)/4

①-②得 a²-2a-4b-3=0, ∴b=(a²-2a-3)/4<a²/4=c

∵三角形两边之和大于第三边

∴b+a>c, 即(a²-2a-3)/4+a>(a²+3)/4

整理得 2a>6, a>3

∴c-a=(a²+3)/4-a=(a²-4a+3)/4=(a-1)(a-3)/4

∵a>3, a-1>0,a-3>0

∴c-a>0, c>a, 即c是最大角

余弦定理 cosc=(a²+b²-c²)/2ab=[a²+(a²-2a-3)²/16-(a²+3)/16]/2a×(a²-2a-3)/4

∴cosc=[16a²-(a²+3)²+(a²-2a-3)²]/8a(a²-2a-3)=[(4a+a²+3)(4a-a²-3)+(a²-2a-3)²]/8a(a²-2a-3)

=[-(a+1)(a+3)(a-1)(a-3)+(a-3)²(a+1)²]/8a(a-3)(a+1)=[-(a-1)(a+3)+(a+1)(a-3)]/8a

=(-a²-2a+3+a²-2a-3)/8a=-4a/8a=-1/2

∴c=120°,即最大角c为120°

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