抽样定理的举例

抽样定理的举例

低通信号的抽样 奈奎斯特抽样定理：设有一个频带限制在(0,fh)Hz内的时间连续信号f (t)，如果以不低于2fh次/秒的频率对它进行抽样，那么所得的抽样值将包含f (t)的全部信息，并且可以用低通滤波器从这些样值中重建f (t)。假设f (t)的频谱为F()，我们抽样所用的信号是单位冲击序列：
其中：Ts为抽样时间间隔，那么抽样后的信号fs(t)为：

其信号频谱为：

抽样后信号f (t)的频谱 由无限多个以ωs的各次谐波为中心点所组成，当然幅度只有原来的1/Ts。如图1所示。
显然为了要使相邻的边带不发生混叠，必须满足如下条件ωs≥2ωh，或fs≥2fh

当抽样满足抽样定理要求，频谱不发生混叠时，在接收端只要用理想低通滤波器就可以从抽样信号中无失真地恢复原信号。 带通信号的抽样 设f(t)频带为 ，仍按 抽样，抽样后的信号频谱如图2(b)所示。
由图2(b)可见 频谱图中有很多空隙，那么是否可降低抽样频率呢？经观察可发现带通信号的最高频率fh 如果是其带宽的整数倍的话，例如fh=2B，当抽样频率fs=2(fh－fl )=2B时，其频谱并不发生混叠。如图2(c)所示。
如果最高频率 不是信号带宽B的整数倍，即：
其中K的整数部分为n，小数部分为k，即：
我们可以假想一个比B宽的带宽B′，使正好是它的整数倍。

只要我们以2B'抽样频率 对f (t)进行抽样必然不会出现频谱混叠。因此
①
从式1可见，随着n的增大，趋向于2B，当n比较大时，式①可简化为：

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