积分∫（1/sinx）dx，区间为[-1，1]发散，请问为什么？

积分∫（1/sinx）dx，区间为[-1，1]发散，请问为什么？

先求不定积分
∫1/sinx dx
=∫sinx/sin²xdx
=-∫1/sin²xdcosx
=-∫1/(1-cos²x)dcosx
=∫1/(cosx+1)(cosx-1)dcosx
=∫[1/(cosx-1)-1/(cosx+1)]/2dcosx
=[∫1/(cosx-1)dcosx-∫1/(cosx+1)dcosx]/2
=[∫1/(cosx-1)d(cosx-1)-∫1/(cosx+1)d(cosx+1)]/2
=(ln|cosx-1|-ln|cosx+1|)/2+C
=ln√|(cosx-1)/(cosx+1)|+C
=ln√|(cosx-1)²/(cosx+1)(cosx-1)|+C
=ln√|(cosx-1)²/(cos²x-1)|+C
=ln√|-(cosx-1)²/sin²x|+C
=ln|(cosx-1)/sinx|+C
=ln|tan(x/2)|+C
根据瑕积分的定义，可知x=0为瑕点
所以∫(-1，1)上的定积分
=∫(-1，ξ)+ ∫(ξ，1)，且ξ→0
所以原式
=lim ξ→0 ln|ξ|-lntan(1/2)+lntan(1/2)-ln|ξ|
=-∞-(-∞)
=不存在
∞不是一个数，不能进行运算，这个只能算出是不存在，但无法算出具体值，所以这个积分是发散的。或者说ln0本身就是无定义发散的，积分本身就是不存在的，两者不能进行加减运算。

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