求证（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于1/4

求证（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a中至少有一个不大于1/4

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
所以有 √((1-a)b)>1/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则 √((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2①
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab),
有 √((1-a)b)≤(1-a+b)/2， √((1-b)c)≤(1-b+c)/2， √((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以 √((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 ①矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4
希望你能看懂，你能明白

反证 
若（1-a）b>1/4，（1-b）c>1/4, （1-c）a>1/4 
三式相乘得 
a(1-a)b(1-b)c(1-c)>1/64 
又因为 
a(1-a)<={[a+(1-a)]/2}^2=1/4,同理也有 
b(1-b)<=1/4 
c(1-c)<=1/4 
三式相乘得 
a(1-a)b(1-b)c(1-c)<=1/64 
与a(1-a)b(1-b)c(1-c)>1/64矛盾 
所以假设不成立 
综上，（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于1/4

使用反证法，假设全部都大于1/4，然后得出矛盾，推出假设不成立，原证成立

反证法。 假设：三个都大于1/4，则： (1－a)b>1/4 (1－b)c>1/4 (1－c)a>1/4 则： √[1－a)b]>1/2 √[(1－b)c]>1/2 √[(1－c)a]>1/2 三个式子相加，得：√[(1－a)b]＋√[(1－b)c]＋√[(1－c)a]>3/2 -----------------(1) 考虑到：[(1－a)＋b]/2≥2√[(1－a)b]，即： √[(1－a)b]≤[(1－a)＋b]/2 同理，有： √[(1－b)c]≤[(1－b)＋c]/2 √[(1－c)a]≤[(1－c)＋a]/2 三个式子相加，得： √[(1－a)b]＋√[(1－b)c]＋√[(1－a)c]≤[(1－a)＋b]/2＋[(1－b)＋c]/2＋[(1－c)＋a]=3/2 ------(2) 比较(1)和(2)，得：3/2<3/2 矛盾，从而假设错误。 所以，(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中至少有一个不大于1/4

例1．已知a，b，c∈（0，1），求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于． 考点：不等式的证明．专题：证明题；反证法．分析：首先根据题意，通过反证法假设假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于，得出：；然后根据基本不等式，得出．相互矛盾，即可证明．解答：证明：反证法假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于 （1-a）b＞ （1-b）c＞ （1-c）a＞ 即 ① ② ③ ①②③相加： 由基本不等式a+b≥2 ④ ⑤ ⑥ ④⑤⑥三式相加 与矛盾所以假设不成立∴命题得证∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于．点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．

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