级数(1/n(lnn)∧p)敛散性
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-01-13 21:36
- 提问者网友：锁深秋
- 2021-01-13 06:47
级数(1/n(lnn)∧p)敛散性
最佳答案
- 二级知识专家网友：青灯有味
- 2021-01-13 08:18
仅当p>1时收敛，如图是分析过程。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
全部回答
- 1楼网友：玩家
- 2021-01-13 08:39
解：分享一种解法，利用积分比较法求解。
∵将"级数∑1/[n(lnn)^p]（n=1,2，……,∞）"视作"连续”过程，则与积分∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]有相同的敛散性。
而，p=1时，∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞，发散。当p≠1时，∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]=[1/(1-p)](lnx)^(1-p)丨(x=2,∞)。显然，1-p<0、p>1时收敛；1-p>0时发散。
∴p>1时，级数∑1/[n(lnn)^p]收敛；p≤1时，级数∑1/[n(lnn)^p]发散。
供参考。
∵将"级数∑1/[n(lnn)^p]（n=1,2，……,∞）"视作"连续”过程，则与积分∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]有相同的敛散性。
而，p=1时，∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]=ln(lnx)丨(x=2,∞)→∞，发散。当p≠1时，∫(2,∞)dx/[x(lnx)^p]=[1/(1-p)](lnx)^(1-p)丨(x=2,∞)。显然，1-p<0、p>1时收敛；1-p>0时发散。
∴p>1时，级数∑1/[n(lnn)^p]收敛；p≤1时，级数∑1/[n(lnn)^p]发散。
供参考。
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