急急急！！！数学
- 提问者网友：相思瘸子
- 2021-04-27 22:31
- 二级知识专家网友：星痕之殇
- 2021-04-28 00:11
因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x大于等于0时f（x）=2x-x^2，那么函数y=f(x)，当x<0时
f(x)=x^2+2x，其函数图象草画如上图。
问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1/b，1/a]，可以理解成函数y=f(x)的图象上是否存在一段曲线，该曲线上点的横坐标在[a，b]上，纵坐标在[1/b，1/a]上。下面我们用探究的方式，去找正数a、b。
因为a、b>0，从图上看出，要找的那段曲线只能在y=f(x)图象当x∈（0，2]的部分上，即[a，b]是（0，2]的子集。
如果0<a<1，那么1/a>1，但函数y=f(x)，x∈（0，2]的值域是（0，1]，区间[1/b，1/a]不是（0，1]的子集；
如果0<b<1，那么1/b>1，但函数y=f(x)，x∈（0，2]的值域是（0，1]，区间[1/b，1/a]不是（0，1]的子集；
那么范围缩小到[a，b]是[1，2]的子集，此时[1/b，1/a]也是（0，1]的子集，而且a<b也能得到1/b<1/a，看来要找的a、b要浮出水面了（^&^）
因为函数y=f(x)在[1，2]上是减函数，是否有f(a)=1/b，且f(b)=1/a呢？
如果f(a)=1/b，且f(b)=1/a，那么2a-a^2=1/b.....（Ａ）
2b-b^2=1/a......(B)
由（Ａ）÷（Ｂ）得到：（２a-a^2)/(2b-b^2)=a/b，化简得（２-a)/(2-b)=1，得到a=b，与前提a<b矛盾。
是否有f(b)=1/b呢？
如果f(b)=1/b ，那么2b-b^2=1/b，得到一个含b的一元三次方程：b^3-2b^2+1=0
容易看出b=1是这个方程的一个根，那么该方程可化为：(b-1)(b^2-b-1)=0
解一元二次方程：b^2-b-1=0，得：b=(√5+1)/2或b=(1-√5)/2(它小于零，舍去）
这样一来，f(b)=1/b在［１，２］上有两个根，他们是１，(√5+1)/2。
因f(1)=1，所以函数y=f(x)在［１，(√5+1)/2］上的值域是［２／(√5+1)，１］
那么存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1/b，1/a]，此时
a=1，b=(√5+1)/2。