数学 钟表

钟表分针与时针对调后依然成立的时间有几种 要说的详细有过程 谢谢

这个是当年爱因斯坦生病在医院时
一个朋友摩西科夫斯基看望他时 给他出的
我记得结果应该是143吧

记得以前做过这题
设一个表有60个刻度
设满足对调仍然成立的时间是x点y分
那么分针的位置 就是在离12点有y个刻度的位置
同理设时针的位置 是在离12点有z个刻度的位置
（注意 这个z不是x 也就是说
在5点到6点之间 时针的刻度并不是5 而是5-6之间的一个值
这个值的取法 在下面 通过分针走过的刻度和两针速度比来求）
我们知道 分针的速度 是时针的12倍
我们知道 从12点起
分针运转了60x+y个刻度
那么时针就运行了z=（60x+y）/12 个刻度

对调之后 分针 就变成了时针的位置
设这个时候的时间为m点z分
那么同前一个时间
时针距离12点有(60m+z)/12个刻度
而这个刻度 恰好就是前一个时间的分针位置
也就是y=(60m+z)/12
这样就有方程组
z=(60x+y)/12
y=(60m+z)/12
其中 x和m的范围是从0到11
通过化简方程组变化为
y=60(x+12m)/143
z=60(m+12x)/143
那么每组x和m 就对应一组y和z
也就对应一个时针在z刻度 分针在y刻度的位置
也就对应一个满足条件的时间
我们知道x和m 各有12种选择
那么一共就是12*12=144种
但是有两种是重复的
就是x=0 m=0时 y=0 z=0 和 x=11 m=11时 y=60 z=60
其实 这两个都是0点0分
所以要减去1个
也就是143个

记得应该是这么做
打了半天 边想边打 累死了……

时针转一圈转过12个区间。时针在每一个区间分针亦转过12个区间，分针在每一个区间都有一个合理位置。比如，当时针在0-1区间时，分针在每个刻度的后一点位置是一个合理位置。注意，当时针分针在同一个区间时，这就是它们相互重合的位置。这样有12*12个位置。但是0时和12时的位置是重复的，所以减去一次，是143。 方法二:解：令[h]标识小于h的最大整数(即整数部分),令 {h}标识h的小数部分,h为时针 在钟面圆周的位置,0<=h<1,也就是h=0.2时为2点24分. 如此可得{12{12h}} = h, 然后等效转化 {12{12h}}={144h}=144h - [144h] 则有143h = [144h], 那么h应该是以143为分母的分数,分子为从0到142的整数. 设分子为x,那么h = x/143, 0<=x<143 则x = [x+x/143] 有x = x + [x/143] 很明显,很清晰,很直观,很精彩,所有0至142的整数都满足此等式. 方法三:第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1中已经解决，总共在钟面上有11个位置。 除此以外还有没有其他可能呢？ 设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程 当两针对调后，就变成时针走了y个刻度，分针走了x个刻度。如果设分针已在此之前走了n圈，又可得方程 把m，n看成已知数解这个方程组，得 由0≤x，y≤60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置, 当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置。当m≠n时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。 方法四:Function Main CpAna.AddField "分钟数",8 CpAna.AddField "时间",12 CpAna.AddField "时针位置",8 CpAna.AddField "分针位置",8 CpAna.AddField "可以互换",8 CpAna.RowCount = 721 CpAna.CreateTable() k=0 For M = 0 to 12 * 60 CpAna.Cell(M, "分钟数") = M CpAna.Cell(M, "时间") = M\\60 & ":" & M Mod 60 Ph=M*0.5 Pm=M*6 Mod 360 CpAna.Cell( M, "时针位置") = Ph CpAna.Cell( M, "分针位置") = Pm NPh=Pm NPm=Ph If NPh=0 AND NPm<>0 Then NPh=360 End If For n = 0 to 12 if NPh/0.5 = NPm/6 + 60 * n AND NPm Mod 6 = 0 Then CpAna.Cell( M, "可以互换") = 1 k = k + 1 End If Next Next Msgbox "一共有" & k & "个时间位置，可以互换分针和时针" End Function 时间 时针位置(°) 分针位置(°) 0h0 0 0 0h1 0.5 6 0h2 1 12 0h3 1.5 18 0h4 2 24 0h5 2.5 30 0h6 3 36 0h7 3.5 42 0h8 4 48 0h9 4.5 54 0h10 5 60 0h11 5.5 66 0h12 6 72 0h13 6.5 78 0h14 7 84 0h15 7.5 90 0h16 8 96 0h17 8.5 102 0h18 9 108 0h19 9.5 114 0h20 10 120 0h21 10.5 126 0h22 11 132 0h23 11.5 138 0h24 12 144 0h25 12.5 150 0h26 13 156 0h27 13.5 162 0h28 14 168 0h29 14.5 174 0h30 15 180 0h31 15.5 186 0h32 16 192 0h33 16.5 198 0h34 17 204 0h35 17.5 210 0h36 18 216 0h37 18.5 222 0h38 19 228 0h39 19.5 234 0h40 20 240 0h41 20.5 246 0h42 21 252 0h43 21.5 258 0h44 22 264 0h45 22.5 270 0h46 23 276 0h47 23.5 282 0h48 24 288 0h49 24.5 294 0h50 25 300 0h51 25.5 306 0h52 26 312 0h53 26.5 318 0h54 27 324 0h55 27.5 330 0h56 28 336 0h57 28.5 342 0h58 29 348 0h59 29.5 354 1h0 30 360 1h1 30.5 6 1h2 31 12 1h3 31.5 18 1h4 32 24 1h5 32.5 30 1h6 33 36 1h7 33.5 42 1h8 34 48 1h9 34.5 54 1h10 35 60 1h11 35.5 66 1h12 36 72 1h13 36.5 78 1h14 37 84 1h15 37.5 90 1h16 38 96 1h17 38.5 102 1h18 39 108 1h19 39.5 114 1h20 40 120 1h21 40.5 126 1h22 41 132 1h23 41.5 138 1h24 42 144 1h25 42.5 150 1h26 43 156 1h27 43.5 162 1h28 44 168 1h29 44.5 174 1h30 45 180 1h31 45.5 186 1h32 46 192 1h33 46.5 198 1h34 47 204 1h35 47.5 210 1h36 48 216 1h37 48.5 222 1h38 49 228 1h39 49.5 234 1h40 50 240 1h41 50.5 246 1h42 51 252 1h43 51.5 258 1h44 52 264 1h45 52.5 270 1h46 53 276 1h47 53.5 282 1h48 54 288 1h49 54.5 294 1h50 55 300 1h51 55.5 306 1h52 56 312 1h53 56.5 318 1h54 57 324 1h55 57.5 330 1h56 58 336 1h57 58.5 342 1h58 59 348 1h59 59.5 354 2h0 60 360 2h1 60.5 6 2h2 61 12 2h3 61.5 18 2h4 62 24 2h5 62.5 30 2h6 63 36 2h7 63.5 42 2h8 64 48 2h9 64.5 54 2h10 65 60 2h11 65.5 66 2h12 66 72 2h13 66.5 78 2h14 67 84 2h15 67.5 90 2h16 68 96 2h17 68.5 102 2h18 69 108 2h19 69.5 114 2h20 70 120 2h21 70.5 126 2h22 71 132 2h23 71.5 138 2h24 72 144 2h25 72.5 150 2h26 73 156 2h27 73.5 162 2h28 74 168 2h29 74.5 174 2h30 75 180 2h31 75.5 186 2h32 76 192 2h33 76.5 198 2h34 77 204 2h35 77.5 210 2h36 78 216 2h37 78.5 222 2h38 79 228 2h39 79.5 234 2h40 80 240 2h41 80.5 246 2h42 81 252 2h43 81.5 258 2h44 82 264 2h45 82.5 270 2h46 83 276 2h47 83.5 282 2h48 84 288 2h49 84.5 294 2h50 85 300 2h51 85.5 306 2h52 86 312 2h53 86.5 318 2h54 87 324 2h55 87.5 330 2h56 88 336 2h57 88.5 342 2h58 89 348 2h59 89.5 354 3h0 90 360 3h1 90.5 6 3h2 91 12 3h3 91.5 18 3h4 92 24 3h5 92.5 30 3h6 93 36 3h7 93.5 42 3h8 94 48 3h9 94.5 54 3h10 95 60 3h11 95.5 66 3h12 96 72 3h13 96.5 78 3h14 97 84 3h15 97.5 90 3h16 98 96 3h17 98.5 102 3h18 99 108 3h19 99.5 114 3h20 100 120 3h21 100.5 126 3h22 101 132 3h23 101.5 138 3h24 102 144 3h25 102.5 150 3h26 103 156 3h27 103.5 162 3h28 104 168 3h29 104.5 174 3h30 105 180 3h31 105.5 186 3h32 106 192 3h33 106.5 198 3h34 107 204 3h35 107.5 210 3h36 108 216 3h37 108.5 222 3h38 109 228 3h39 109.5 234 3h40 110 240 3h41 110.5 246 3h42 答：有11种。 两针重合时分针与时针对调后，时间依然成立。 两针重合的情况有11种。

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