设当x趋向于0 时,函数 f(x)=x-sinx与g(x) =ax*n是等价无穷小,则常数a,n 的值为多少 跪求详细答案

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f(x)/g(x) 使用洛必达法则 上下求导

得(1-cosx)/(anx^n-1)

继续上下求导

sinx/(an(n-1)x^n-2)

将当x->0,sinx~x等价无穷小，sinx换成x

x/(an(n-1)x^n-2)

约去x

1/(an(n-1)x^n-3) =1

所以n-3=0n=3
an(n-1)=1 a=1/6

由已知，lim（x-sinx）/axn=1 ，由洛必达法则得lim（1-cosx）/a*n*x（n-1），有等价无穷小代替1-cosx~1/2x（2），所以lim1/2x（2）/a*n*x（n-1），所以n=3，a=1/6

f(x)= x - sinx = -1/6*x^3+o(x^3)
与 g(x)=a*x^n是等价无穷小
所以 a = -1/6 ,n = 3 .

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