已知点A，D分别是椭圆 （a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F 1 ，F 2 分别是椭圆

已知点A，D分别是椭圆 （a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F 1 ，F 2 分别是椭圆

解：（Ⅰ）设 P（x，y），F 1 （-c，0），F 2 （c，0）， 则 （-c-x，-y）， （c-x，-y）， ∴ =x 2 +y 2 -c 2 ， ∵P在线段AD上， ∴x 2 +y 2 可以看成线段AD上的点到原点距离的平方， 结合图形可以知道当P运动到A时x 2 +y 2 最大，最大值为a 2 ， 所以 =x 2 +y 2 -c 2 的最大值为a 2 -c 2 =b 2 ， 当OP⊥AD时，x 2 +y 2 取得最小，最小值运用等面积法可得到x 2 +y 2 的最小值为 ， 所以 =x 2 +y 2 -c 2 的最小值为 ， 又 的最大值是1，最小值是 ， 故有 ，解得a 2 =4， 所以椭圆方程为 ； （Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0， 故可设直线的方程为y=k（x+2）， 从而 ， 由 得（1+4k 2 ）x 2 +16k 2 x+16k 2 -4=0， 设S（x 1 ，y 1 ）， 则 ，得 ，从而 ， 又B（2，0），得 ，所以 ， 又k＞0，故|MN|= ，当且仅当 时等号成立， ∴ 时，线段的长度取最小值 ； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时 ， 此时BS的方程为2x+y-4=0， ， ∴ ， 要使椭圆上存在点T，使得△TSB的面积等于 ，只需T到直线BS的距离等于 ， 所以点T在平行于BS且与BS距离等于 的直线l′上， 设直线l′的方程为2x+y+c=0， 则由 ，解得c=-3或c=-5， 当c=-3时，由 得Δ=128＞0，故直线l′与椭圆有两个不同的交点； 当c=-5时，由 得Δ=-128＜0，故直线l′与椭圆没有交点； 综上所述，当线段MN的长度最小时，在椭圆上仅有两个点T，使得△TSB的面积等于 。

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