求函数f(x，y)＝x^3＋y²－6xy－39x＋18y＋20的极值

求函数f(x，y)＝x^3＋y²－6xy－39x＋18y＋20的极值

解：由条件，令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤r≤4，z=f(x，y)=3r²-r³cos³θ≥3r²-r³=r²(3-r)，z′=6r-3r²=-3r(r-2)，可得z在[0，2]上递增，在[2，4]上递减，易知当r=4时，z最小为-16。即函数f(x,y)=3x²+3y²-x³在区域D：x²+y²≤16上的最小值为-16。

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