-次函数f(x)是r上的增函数g(x)=f(x)(x十m),已知f(f(x))=16x十5

-次函数f(x)是r上的增函数g(x)=f(x)(x十m),已知f(f(x))=16x十5

一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)（x+m）,已知f[f(x)]=16x+5
①求fx
②若gx在（1，+oo）单调递增，求实数m的取值范围
③当x∈[-1,3]时，gx有最大值13，求实数m的值
解：
①
设f(x)=ax+b，则f[f(x)]=a(ax+b)+b=(a^2)x+(a+1)b=16x+5。
因为f(x)是R上的增函数，故a=4，b=1。f(x)=4x+1
②
g(x)=(4x+1)(x+m)=4x^2+(4m+1)x+m，其对称轴为x=-(4m+1)/8
因为g(x)在(1,+∞)单调递增，故对称轴应在x=1的左边，即-(4m+1)/8≤1，m≥-9/4
③
因为g(x)开口向上，故闭区间上的最大值只能在区间端点处取得。
若g(-1)=13，m=-10/3，此时g(3)=-13/3。g(-1)>g(3)，g(x)在x=-1处取得最大值13。
若g(3)=13，m=-2，此时g(-1)=9。g(3)>g(-1)，g(x)在x=3处取得最大值13。
故m=-10/3或m=-2。

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