在三角形ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,2bcosB=acosC+cosA,且b^2=3ac,则角A的

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解决时间 2021-01-15 22:06

提问者网友：雨不眠的下
2021-01-15 04:40

最佳答案

二级知识专家网友：由着我着迷
2021-01-15 05:42

考虑正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=D（D为三角形ABC的外接圆直径），则
a=DsinA,b=DsinB,c=DsinC，代入2bcosB=acosC+ccosA得
D*2sinBcosB=DsinAacosC+DsinCcosA
于是有
sin2B=sin(A+C)
得2B=A+C （如果2B=180°-(A+C)，结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）
A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°
又b^2=3ac，故
D^2*sin^2 B=3D^2sinAsinC
sin^2 B=3sinAsinC
(√3/2)^2=3/4=3sinAsinC=3*1/2*[cos(A-C)-cos(A+C)]=3/2*[cos(A-C)+1/2]
得cos(A-C)=0
故A-C=±90°
结合A+C=120°，易得
A=105°或A=15°。
不明白请追问。

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1楼网友：行路难
2021-01-15 06:52

题目应该是：2bcosB=acosC+cco sA，且b^2=3ac，求角A的度数考虑正弦定理a/sinA=b/sinB=c/si nC=D（D为三角形ABC的外接圆直径），则 a=DsinA,b=DsinB,c=DsinC，代入 2bcosB=acosC+ccosA得 D*2sinBcosB=DsinAacosC+Dsin CcosA 于是有 sin2B=sin(A+C) 得2B=A+C （如果2B=180°-(A+C) ，结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意） A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+ C=120° 又b^2=3ac，故 D^2*sin^2 B=3D^2sinAsinC sin^2 B=3sinAsinC (√3/2)^2=3/4=3sinAsinC=3*1/2* [cos(A-C)-cos(A+C)]=3/2*[cos(A-C)+1/2] 得cos(A-C)=0 故A-C=±90° 结合A+C=120°，易得 A=105°或A=15°。

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