已知αβ是关于x的方程x^2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α^3-α^2β-αβ^2+β^

已知αβ是关于x的方程x^2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α^3-α^2β-αβ^2+β^3=0，求证:p=0，q＜0

α^3-α^2β-αβ^2+β^3=0
α^2（α-β）-β^2（α-β）=0
（α-β）（α^2-β^2）=0
（α-β)^2 (α+β)=0

故（α-β)^2=0或者α+β=0
当（α-β)^2=0，可得α=β，这与题目中有两个不等的实数根矛盾
当α+β=0，可得0=α+β=-p ，故p=0

当p=0时，原方程化为x^2+q=0 这时只能q＜0

命题证毕

证明：∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根， ∴α+β=-p，αβ=q； ∵α3-α2β-αβ2+β3=0， ∴α3-α2β-αβ2+β3=（α-β）2（α+β）=0； ∵α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根， ∴α≠β， ∴α-β≠0， ∴α+β=-p=0，△=p2-4q＞0； ∴p=0，-4q＞0， ∴q＜0．

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