求∫(0到+无穷)1/x^2+4x+8dx=派/8
答案:3 悬赏:40
解决时间 2021-01-14 13:42
- 提问者网友：放下
- 2021-01-13 21:25
求∫(0到+无穷)1/x^2+4x+8dx=派/8
最佳答案
- 二级知识专家网友：我住北渡口
- 2021-01-13 22:17
做了图片
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- 1楼网友：轻雾山林
- 2021-01-13 23:23
∫(0→+∞) 1/(x² + 4x + 8) dx
= ∫(0→+∞) 1/[(x + 2)² + 4] dx
令x + 2 = 2tant，dx = 2sec²t dt
当x = 0，t = arctan(1) = π/4
当x→+∞，t→π/2
原式 = ∫(π/4→π/2) 1/(4tan²t + 4) * 2sec²t dt
= (1/2)∫(π/4→π/2) sec²t/sec²t dt
= (1/2)t + C
= (1/2)(π/2 - π/4)
= π/8
= ∫(0→+∞) 1/[(x + 2)² + 4] dx
令x + 2 = 2tant，dx = 2sec²t dt
当x = 0，t = arctan(1) = π/4
当x→+∞，t→π/2
原式 = ∫(π/4→π/2) 1/(4tan²t + 4) * 2sec²t dt
= (1/2)∫(π/4→π/2) sec²t/sec²t dt
= (1/2)t + C
= (1/2)(π/2 - π/4)
= π/8
- 2楼网友：北城痞子
- 2021-01-13 22:40
被积函数1/(x^2+4x+8)=1/((x+2)^2+2^2)，原函数是1/2×arctan((x+2)/2)，代入上下限，积分结果是1/2×π/2-1/2×π/4=π/8
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