求极限lim(x,y)→(1,1)(sin(x-y))╱(x∧2-y∧2)

求极限lim(x,y)→(1,1)(sin(x-y))╱(x∧2-y∧2)

原式=limsin(x-y)/(x-y)(x+y)=1/2
其中limsin（x-y）/(x-y)=1
这个证明书上应该是有的
如果x∝1，y∝1的话

原式=lim(x趋于1)lim(y趋于1)sin(x-y)/(x²-y²)
=lim(x趋于1)sin(x-1)/(x²-1)
=lim(x趋于1)sin(x-1)/[(x-1)(x+1)]
sin(x-1)和x-1为等价无穷小，所以极限为1/2
或对lim(x趋于1)sin(x-1)/(x²-1)用洛必达法则，得
lim(x趋于1)cos(x-1)/(2x)=1/2

因为x→0,y→0时，x是无穷小量，而sin(1/y)是有界变量，因此limxsin(1/y)=0;同理，y是无穷小量，sin(1/x)是有界变量，因此limysin(1/x)=0.两个无穷小量之和仍为无穷小量。

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