s=1*1+2*2+3*3+4*4+.......+n*n=1/6n(n+1)(2n+1) 求证

s=1*1+2*2+3*3+4*4+.......+n*n=1/6n(n+1)(2n+1) 求证

因为（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将n=1,2,3,.....分别代入上式可得
2^3-1^3=3x1^2+3x1+1
3^3-2^3=3x2^2+3x2+1
......
（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上式累加起来可得
（n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n
又1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)/2
所以1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1）
或者用数学归纳法
1^2=1/6*1（2*1+1）（1+1）=1/6*6=1
1^2+2^2=1/6*（2*2+1）（2+1）=1/6*30=5
...................................
假设1方+2方+3方+……+N方=1/6n（2n+1)(n+1)
则
1^2+2^2+3^2+……+n^2+（n+1）^2
=1/6n（2n+1)(n+1)+(n+1)^2
=1/6(n+1)(2n^2+n+6n+6)
=1/6*(n+1)(2n+3)(n+2)
=1/6*(n+1)[2(n+1)+1][(n+1)+1]
假设成立
得证

n^3-(n-1)^3=n^2+n(n-1)+(n-1)^2=n^2+2(n-1)^2+(n-1) (n-1)^3-(n-2)^3=(n-1)^2+(n-1)(n-2)+(n-2)^2=(n-1)^2+2(n-2)^2+(n-2) 以此类推…… 2^3-1^3=2^2+2*1+1^2 将上述式子全部累加起来 得到 n^3-1^3=3*(n^2+(n-1)^2+……+1^2)-2*n^2+((n-1)+(n-2)+……+1） 整理即得结果，这一思路可以用来推出三次方和

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