设n是正整数,用放缩法证明:1/2<=1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1

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解决时间 2021-01-16 15:11

提问者网友：凉末
2021-01-16 04:45

最佳答案

二级知识专家网友：举杯邀酒敬孤独
2021-01-16 04:59

1/2<=1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1
先证左面：
n+1≤2n，所以：1/n+1≥1/2n
n+2≤2n ，所以：1/n+2≥1/2n
同理可得:1/n+1+1/n+2+…+1/2n≥n x1/2n=1/2
再证右面：
n+2>n+1，所以：1/n+2<1/n+1
n+3>n+1，所以：1/n+2<1/n+1
同理可得:1/n+1+1/n+2+…+1/2n因n>0,所以：n可得：1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1
即1/2<=1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1得证!

全部回答

1楼网友：酒者煙囻
2021-01-16 08:11

各项都缩放到1/n就是后一个不等号，都缩放到1/2n就是前一个不等号
具体过程自己会写吧？

2楼网友：轻雾山林
2021-01-16 06:56

1/n+1+1/n+2+…+1/2n>=1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2
1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1/n+1+1/n+1+...1/n+1=n/n+1<1

3楼网友：青灯有味
2021-01-16 06:45

证明：∵n∈N..n≥2.∴1/（n+1)+1/(n+2)+......+1/2n<1/（n+1)+1/（n+1)+...+1/（n+1)=n/(n+1)<1
又f(n)=1/（n+1)+1/(n+2)+......+1/2n>1/2n+1/2n+......+1/2n=1/2

4楼网友：独钓一江月
2021-01-16 06:35

n=1时，
1/2<=1/2<1
n>1时
1/n+1+1/n+2+…+1/2n>1/2n+1/2n+...+1/2n=n/2n=1/2
1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1/n+1/n+...+1/n=n/n=1
所以
1/2<=1/n+1+1/n+2+…+1/2n<1
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