已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，不考虑地球自转的影响．求：（1）推导第一宇宙速度v1的表达式

已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s2，不考虑地球自转的影响．求：（1）推导第一宇宙速度v1的表达式

试题答案：（1）当卫星在地球表面附近运动行时，受地球的万有引力提供向心力，即GmMR2=mv2R得：卫星运行速度v=GMR      ①又因为在不考虑地球的自转，地球表面的重力和万有引力相等，故有mg=GmMR2，所以有GM=gR2       ②将②代入①可得：v1=gR=10×6400×103m/s=8×103m/s（2）同步卫星运动地周期与地球自转周期相同，即T=24h=24×3600s，同步卫星受到地球的万有引力提供向心力，故有：GmM(R+h)2=m(R+h)(2πT)2可得R+h=3GMT24π2即：h=3GMT24π2-R              ③将②代入③得：h=3gR2T24π2-R=310×(6400×103)2×(24×3600)24×3.142-6400×103m≈4×107m（3）由②式得M=gR2G     ④由几何知识知，地球的体积V=43πR3         ⑤所以地球的密度ρ=MV=gR2G43πR3=3g4πRG=3×104×3.14×6400×103×6.7×10-11kg/m3≈6×103Kg/m3．答：（1）第一宇宙速度表达式v1=GMR，数值为8×103m/s；（2）同步卫星距地面的高度h=4×107m；（3）地球的平均密度ρ=6×103Kg/m3．

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